有理数和无理数的区别 有哪些不同
2025-01-07 18:40
有理数和无理数区别显著。有理数是整数与分数统称,能写成两整数之比,其小数形式为有限或无限循环,像0.333…(1/3);无理数则是无限不循环小数,无法化作两整数之比,如圆周率π。运算上有理数四则皆行,无理数常需借助有理数近似计算。
有理数与无理数的区别是什么
1.概念不同
有理数是整数和分数的统称,能精确地表示为两个整数之比的数。而无理数是无限不循环小数,不能写作两个整数之比。
2.性质不同
有理数能写成有限小数和无限循环小数以及两个整数之比,在有理数集内四种运算均可进行,且运算结果仍为有理数。
无理数只能写成无限不循环小数且不能写成两个整数之比,无理数加(减)无理数既可以是无理数又可以是有理数,无理数乘(除)无理数既可以是无理数又可以是有理数,无理数加(减)有理数一定是无理数,无理数乘(除)一个非0有理数一定是无理数。
3.范围不同
有理数集是整数集的扩张,在有理数集内,加法、减法、乘法、除法四种运算均可进行。无理数是实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
4.表达方式不同
有理数可以用分数表达,3/8。无理数不能用分数表达,如圆周率π。
有理数与无理数的概念与特点
有理数的概念与特点
1.有理数的定义
有理数是整数和分数的统称,能精确地表示为两个整数之比的数。3/8就是一个有理数,它可以表示为整数3和整数8的比。同时,整数也可以看成是分母为1的分数,如5可以写成5/1,所以整数也是有理数的一部分。
2.有理数的性质
有理数的小数表示要么是有限小数,要么是无限循环小数。1/2=0.5是有限小数,1/3≈0.333……是无限循环小数。有理数可以表示为两个整数的比例,在有理数集内四种运算(加、减、乘、除,除数不为0)均可进行,并且运算结果仍为有理数。
此外,有理数具有顺序性,对于任意两个有理数a、b,在a<b、a=b、a>b三种关系中,有且只有一种成立;有理数还具有对加、减、乘、除四则运算的封闭性,即任意一对有理数,对应的和、差、积、商(0不为除数)仍为有理数;有理数具有稠密性,即任意两个有理数之间存在着无限多个有理数。
3.常见有理数类型
整数、有限小数、无限循环小数、分数等都是有理数。正整数(也叫自然数)、0、负整数统称为整数,正分数、负分数统称为分数。
所有的整数都是有理数,小数分类里的有限小数、无限循环小数也是有理数,因为所有的分数不是与一个有限小数等价,就是与一个无限循环小数等价,所以所有的分数都是有理数。正有理数包括正整数和正分数,负有理数包括负整数和负分数。
无理数的概念与特点
1.无理数的定义
无理数指无限不循环小数,不能写作两个整数之比。在计算2的算术平方根时,开方的过程可以无限继续下去,得到的小数1.41421……就不是无限循环小数,所以它是无理数。
2.无理数的性质
无理数的小数部分既不会终止也不会无限循环;不能表示为两个整数之比;是实数范围内不能表示成两个整数之比的数。
无理数加(减)无理数既可以是无理数又可以是有理数;无理数乘(除)无理数既可以是无理数又可以是有理数;无理数加(减)有理数一定是无理数;无理数乘(除)一个非0有理数一定是无理数。
3.常见无理数类型
无限不循环小数如圆周率π、自然对数的底数e等,根式中开方开不尽的数如√2、√3、√5等,含有π的数如π/2、√7π、π+3等,某些三角函数值如sin25°、tan78°等都是无理数。
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